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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 21

Seja P 3 = c o n j u n t o   d o s   p o l i n ô m i o s   c o m   g r a u   m e n o r   o u   i g u a l   a   3 , e

T : P 3 → P 3

f → f ' ( d e r i v a d a )

  1. Mostre que P 3 é um espaço vetorial de dimensão 4.
  2. Mostre que T é uma transformação linear.
  3. Determine ker ⁡ T e I m   T e encontre uma base para cada um destes subespaços vetoriais.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Item a:

Sendo:

v = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3

Temos que:

T v = a 2 + 2 a 3 x + 3 a 4 x 2

Logo:

a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 = a 1 1,0 , 0,0 + a 2 x 0,1 , 0,0 + a 3 x 2 0,0 , 1,0 + a 4 x 3 ( 0,0 , 0,1 )

P 3 = 1 , x , x 2 , x 3 é base de P 3 e dim ⁡ P 3 = 4 .

Passo 2

Item b:

Seja:

u = a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 x 3

v = a 2 + b 2 x + c 2 x 2 + d 2 x 3

T u = b 1 + 2 c 1 x + 3 d 1 x 2

T v = b 2 + 2 c 2 x + 3 d 2 x 2

Para que seja transformação linear, temos que:

i )   T u + v = T u + T ( v )

i i )   T k u = k T ( u )

Portanto:

  T u + v = T a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 x 3 + a 2 + b 2 x + c 2 x 2 + d 2 x 3

  T u + v = T a 1 + a 2 + b 1 x + b 2 x + c 1 x 2 + c 2 x 2 + d 1 x 3 + d 2 x 3

T u + v = T a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2 + d 1 + d 2 x 3

T u + v = T a 1 + a 2 + b 1 + b 2 x + c 1 + c 2 x 2 + d 1 + d 2 x 3

Como:

f → f '

Temos:

T u + v = b 1 + b 2 + 2 c 1 + c 2 x + d 1 + d 2 x 2

T u + v = b 1 + 2 c 1 x + 3 d 1 x 2 + b 2 + 2 c 2 x + 3 d 2 x 2

T u + v = T u + T ( v )

Para o próximo item temos:

  T k u = T k a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 x 3

  T k u = k T a 1 + b 1 x + c 1 x 2 + d 1 x 3

T k u = k T ( u )

Passo 3

Item c:

Temos que:

ker ⁡ T : T v = 0

b + 2 c x + 3 d x 2 = 0

b = 0

c = 0

d = 0

A variável a fica livre pois ker ⁡ T ∈ P 3 . Logo:

ker ⁡ T = k , 0,0 , 0 = k 1,0 , 0,0 = { 1 }

dim ⁡ ker ⁡ T = 1

Para a imagem, temos:

I m   T : T v = w

a 2 + 2 a 3 x + 3 a 4 x 2 = a 2 1,0 , 0 + a 3 x 0,2 , 0 + a 4 x 2 ( 0,0 , 3 )

I m   T = 1,2 x , 3 x 2

Temos que 1,2 x , 3 x 2 é base de I m   T e dim ⁡ I m   T = 3 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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